สหสัมพันธ์โดยนัย: ความแปรปรวนของดัชนี ความเป็นไปได้ และการกระจาย

หาค่าสหสัมพันธ์โดยนัยแบบถ่วงน้ำหนักจากความแปรปรวนของดัชนีและองค์ประกอบที่ใช้เกณฑ์ตรงกัน ตรวจสอบความเป็นไปได้ และแยกค่ามาตรฐานออกจากสถานะการกระจายที่ซื้อขายได้จริง

จัดทำขึ้นเพื่อการศึกษาเท่านั้น ไม่ใช่คำแนะนำการลงทุน การลงทุนอาจทำให้สูญเสียเงินลงทุนได้

คำตอบโดยตรง

สหสัมพันธ์โดยนัยคือค่าสเกลาร์ที่ทำให้ความแปรปรวนของดัชนีสอดคล้องกับความแปรปรวนขององค์ประกอบและน้ำหนักที่ปรับผลรวมแล้ว ภายใต้ข้อกำหนดที่แทนสหสัมพันธ์ทุกคู่ด้วยค่าร่วมค่าเดียว เมื่อ sum(w_i)=1 เอกลักษณ์ความแปรปรวนของพอร์ตคือ V_index=sum(w_i^2*sigma_i^2)+2*sum(w_i*w_j*sigma_i*sigma_j*rho_ij,i<j) หากแทนทุกคู่ด้วยค่าเดียว จะได้ rho_bar=(V_index-A)/D โดย A=sum(w_i^2*sigma_i^2) และ D=2*sum(w_i*w_j*sigma_i*sigma_j,i<j)

ค่า rho_bar นี้เป็นสเกลาร์ที่ถ่วงน้ำหนักตามพจน์ไขว้ ไม่ใช่ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของสหสัมพันธ์รายคู่ และไม่เพียงพอสำหรับสร้างเมทริกซ์สหสัมพันธ์ทั้งหมด ค่ายังขึ้นกับวิธีคำนวณ เพราะกำลังสองของ IV ที่ ATM, IV ที่อ้างอิงเดลตา, แถบออปชันแบบไม่อิงแบบจำลอง และราคาใช้สิทธิของสัญญาแลกเปลี่ยนความแปรปรวนไม่ใช่วัตถุความแปรปรวนเดียวกัน ค่ามาตรฐานเป็นนัยจากราคาภายใต้กฎที่กำหนด ไม่ใช่การพยากรณ์ภายใต้มาตรวัดจริงหรือธุรกรรมที่ซื้อขายได้โดยอัตโนมัติ

ขั้นตอนที่ควบคุมได้

กำหนดดัชนี รุ่นข้อมูล ณ เวลาที่วัด ชุดองค์ประกอบ น้ำหนักที่ปรับผลรวมแล้ว ความครอบคลุม การจัดการตัวหาร วันที่ปรับองค์ประกอบ และกฎการดำเนินการของบริษัทให้แน่นอน ระบุว่าน้ำหนักของชื่อที่ไม่รวมยังคงเป็นส่วนต่างคงเหลือ หรือมีการปรับน้ำหนักชื่อที่เลือกให้รวมเป็นหนึ่งใหม่
กำหนดวัตถุความแปรปรวนและมาตรวัดว่าเป็น IV ที่ ATM หรืออ้างอิงเดลตา แถบออปชันแบบไม่อิงแบบจำลอง หรืออัตราสัญญาแลกเปลี่ยนความแปรปรวน ภายใต้มาตรวัดเป็นกลางต่อความเสี่ยงหรือมาตรวัดจริง พร้อมระบุช่วงเวลา ปฏิทิน พิกัดระดับราคาตามราคาล่วงหน้า การปรับเป็นรายปี และการชำระเป็นเงินสดหรือส่งมอบจริง
เก็บราคาเสนอซื้อ ราคาเสนอขาย ขนาด และตราประทับเวลาของดัชนีกับองค์ประกอบให้ตรงกัน พร้อมราคาปัจจุบัน ราคาล่วงหน้า อัตราดอกเบี้ย เงินปันผล ต้นทุนยืมหุ้น และข้อมูลพื้นผิวออปชัน ปฏิเสธข้อมูลค้าง ราคาไขว้ ขนาดศูนย์ และวันหมดอายุที่ไม่ตรงกัน
ตรวจสอบ sum(w_i)=1 ความแปรปรวนที่ไม่ติดลบ และ D>0 รวมทั้งสภาพของตัวหาร สำหรับเมทริกซ์รายคู่ ต้องสมมาตร มีค่าแนวทแยงเท่ากับหนึ่ง และเป็นเมทริกซ์กึ่งบวก ไม่ใช่ตรวจเพียงว่าแต่ละค่าอยู่ใน [-1,1]
คำนวณ A, D และ rho_bar ด้วยความแม่นยำเต็ม แล้วสร้างช่วงค่าจากด้านราคาและการประมาณค่า อย่าบีบค่าที่เป็นไปไม่ได้ให้เข้าอยู่ในช่วงโดยไม่เปิดเผย แต่ให้ตรวจสอบจักรวาล น้ำหนัก เวลาของราคา ความเอียง องค์ประกอบที่ไม่รวม วัตถุความแปรปรวน และข้อผิดพลาดเชิงตัวเลข
กระทบยอดกับรุ่นของดัชนีมาตรฐานที่ระบุชื่อ Cboe COR3M ใช้หุ้น 50 อันดับแรกตามเกณฑ์ที่กำหนด ปรับน้ำหนักใหม่ ช่วงสามเดือน และข้อกำหนดความผันผวนของราคาที่เดลตา 0.5 ส่วน DSPX ใช้วิธีวัดการกระจายคาดหมาย 30 วันปฏิทินของตนเองและไม่ใช่ดัชนีสหสัมพันธ์โดยนัย
หากใช้ค่านี้ประกอบการซื้อขายแบบกระจาย ให้แปลงเป็นจำนวนสัญญา ราคาที่ซื้อขายได้ Vega, Gamma, ความเอียง การกระโดด เงินปันผล การปรับสมดุล เงินทุน และกระแสเงินสดชำระบัญชีจริง เปรียบเทียบกับสหสัมพันธ์ที่เกิดขึ้นจริงเมื่อจักรวาล ณ เวลานั้น น้ำหนัก ความถี่ผลตอบแทน กรอบเวลา และตัวประมาณค่าตรงกันแล้วเท่านั้น

ตัวอย่างการคำนวณ

ความไวของน้ำหนักเท่ากัน: องค์ประกอบสามตัวมี w_i=1/3 และ sigma_i=30% ดังนั้น A=0.0300000000 และ D=0.0600000000 ดัชนีมี IV 20% ให้ rho_bar=(0.20^2-0.03)/0.06=16.6666666667% ส่วน IV ดัชนี 25% ให้ 54.1666666667% การเปลี่ยนแปลงอาจมาจากความแปรปรวนของดัชนี ความแปรปรวนขององค์ประกอบ น้ำหนัก หรือวิธีคำนวณ ไม่ใช่เมทริกซ์รายคู่ที่สังเกตโดยตรง
เมทริกซ์ที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกัน: กำหนด w=(0.5,0.3,0.2), sigma=(20%,30%,40%) และสหสัมพันธ์รายคู่ (0.2,0.5,-0.1) จะได้ A=0.0245000000, D=0.0484000000 ความแปรปรวนไขว้ 0.0101600000 ความแปรปรวนดัชนี 0.0346600000 และความผันผวนดัชนี 18.6171963518% สเกลาร์เทียบเท่าคือ rho_bar=20.9917355372% ขณะที่ค่าเฉลี่ยรายคู่อย่างง่ายคือ 20.0000000000%
ช่วงค่าจากราคา: สำหรับองค์ประกอบเท่ากันสามตัว IV ดัชนีด้านเสนอซื้อและเสนอขายคือ 19%/21% และ IV ขององค์ประกอบทุกตัวคือ 29%/31% การวินิจฉัยแบบระมัดระวังให้ rho_min=[3*(0.19/0.31)^2-1]/2=6.3475546306% และ rho_max=[3*(0.21/0.29)^2-1]/2=28.6563614744% ค่ากึ่งกลาง 16.6666666667% ไม่ใช่ราคาที่รับประกันว่าจะซื้อขายทั้งชุดได้ และพื้นผิวจริงต้องประมาณค่าราคาใช้สิทธิและอายุอย่างสอดคล้องกัน
การวินิจฉัยความเป็นไปได้: เมื่อองค์ประกอบเท่ากันสามตัวมี IV 30% และดัชนีมี IV 40% สูตรให้ rho_bar=216.6666666667% ซึ่งบ่งชี้ข้อมูลไม่สอดคล้องกัน ไม่ใช่สหสัมพันธ์จริง ค่าแต่ละคู่ (0.9,0.9,-0.9) อยู่ในขอบเขต แต่ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์สหสัมพันธ์คือ -2.8880000000 จึงไม่เป็นเมทริกซ์กึ่งบวก สำหรับเมทริกซ์สหสัมพันธ์เท่ากันของสินทรัพย์ N ตัว ช่วงที่เป็นไปได้คือ -1/(N-1)<=rho<=1 เมื่อ N=3 ค่า rho=-0.6 ต่ำกว่าขอบล่าง -0.5 และดีเทอร์มิแนนต์คือ -0.5120000000

ความเสี่ยงและการตรวจสอบ

ความเสี่ยงด้านจักรวาล: องค์ประกอบที่หายไปหรือชุดหุ้นขนาดใหญ่ที่ไม่ระบุเปลี่ยนเอกลักษณ์ของการคำนวณ
ความเสี่ยงด้านส่วนคงเหลือ: การปรับน้ำหนักชื่อที่เลือกให้รวมเป็นหนึ่งต่างจากการคงน้ำหนักดัชนีที่ไม่รวมไว้
ความเสี่ยงด้านน้ำหนัก: การปรับหุ้นหมุนเวียน ตัวหาร และน้ำหนักที่ล้าสมัยเปลี่ยนทั้ง A และ D
ความเสี่ยงด้านการปรับองค์ประกอบ: การเพิ่ม ลบ และการดำเนินการของบริษัทสร้างการกระโดดในวิธีคำนวณและการป้องกันความเสี่ยง
ความเสี่ยงด้านเวลา: พื้นผิวของดัชนีและหุ้นรายตัวเปลี่ยนระหว่างเก็บราคาของตะกร้าขนาดใหญ่
ความเสี่ยงด้านอายุ: วันหมดอายุหรือเวลาที่ใช้ประมาณค่าต่างกันไม่ได้อธิบายช่วงเวลาเดียวกัน
ความเสี่ยงด้านราคาล่วงหน้า: ราคาปัจจุบัน อัตราดอกเบี้ย เงินปันผล และต้นทุนยืมหุ้นเปลี่ยนระดับราคาตามราคาล่วงหน้าและเดลตา
ความเสี่ยงด้านการชำระบัญชี: การชำระช่วงเช้าหรือบ่าย ราคาอ้างอิงทางการ และข้อกำหนดการใช้สิทธิอาจสร้างส่วนต่าง
ความเสี่ยงด้านวัตถุความแปรปรวน: กำลังสองของ IV จากราคาใช้สิทธิค่าเดียวไม่ใช่มาตรวัดแบบไม่อิงแบบจำลองหรืออัตราสัญญาแลกเปลี่ยนความแปรปรวนโดยอัตโนมัติ
ความเสี่ยงด้านพิกัด: ATM, ราคาใช้สิทธิคงที่, ระดับราคาตามราคาล่วงหน้า และความเอียงที่อ้างอิงเดลตาเป็นคนละส่วนของพื้นผิว
ความเสี่ยงด้านราคา: ราคากึ่งกลาง ขนาดที่แสดง และผลรวมราคาแต่ละขาไม่รับประกันการซื้อขาย
ความเสี่ยงด้านสภาพคล่อง: ออปชันหุ้นรายตัวที่ราคาค้างหรือช่วงราคากว้างอาจครอบงำค่าที่อนุมาน
ความเสี่ยงด้านการประมาณค่า: การทำความสะอาดพื้นผิว การตัดข้อมูล และการคาดคะเนอาจเปลี่ยนความแปรปรวนขององค์ประกอบอย่างมีนัยสำคัญ
ความเสี่ยงด้านตัวหาร: ค่า D เล็กทำให้สเกลาร์ไม่เสถียรและขยายความผิดพลาดของข้อมูลเข้า
ความเสี่ยงด้านความเป็นไปได้: ขอบเขตของค่าแต่ละคู่ไม่รับประกันว่าเมทริกซ์จะเป็นกึ่งบวก
ความเสี่ยงด้านการบีบค่า: การบังคับค่าที่อยู่นอกช่วงให้เข้าในขอบเขตซ่อนข้อมูลเสียหรือวัตถุที่ไม่ตรงกัน
ความเสี่ยงด้านมาตรวัด: สหสัมพันธ์โดยนัยภายใต้มาตรวัดเป็นกลางต่อความเสี่ยงไม่จำเป็นต้องตรงกับสหสัมพันธ์ที่เกิดขึ้นจริง
ความเสี่ยงด้านเหตุการณ์: การกระโดดของดัชนีและองค์ประกอบ ความเอียง และเหตุการณ์กระจุกตัวทำลายความเข้าใจแบบราบเรียบของสถานะ
ความเสี่ยงด้านการซื้อขาย: การกระจายยังมีความเสี่ยงด้าน Vega, Gamma, การกระโดด เงินปันผล การปรับสมดุล การซื้อขาย และเงินทุน
ความเสี่ยงด้านธรรมาภิบาล: ต้องกระทบยอดรุ่นของดัชนี การแก้ไขข้อมูล รุ่นแบบจำลอง และกระแสเงินสดสุดท้าย

ความเข้าใจผิดที่พบบ่อย

“ค่านี้คือค่าเฉลี่ยเลขคณิตของสหสัมพันธ์หุ้นรายคู่ในอดีต” ค่านี้เป็นนัยจากราคาออปชันแบบถ่วงน้ำหนักภายใต้วิธีความแปรปรวนที่กำหนด
“IV ขององค์ประกอบสูงหมายถึงสหสัมพันธ์สูง” ความแปรปรวนขององค์ประกอบและการเคลื่อนไหวร่วมเป็นข้อมูลเข้าคนละส่วน
“สเกลาร์ค่าเดียวอธิบายทุกคู่หรือสร้างเมทริกซ์ได้” เมทริกซ์ที่แตกต่างกันจำนวนมากให้ความแปรปรวนของดัชนีค่าเดียวกันได้
“ผลลัพธ์นอกช่วงควรถูกบีบให้อยู่ในขอบเขต” ผลดังกล่าวบ่งชี้ข้อมูลที่ไม่ตรงกัน ค้าง ไม่ครบ หรือเป็นไปไม่ได้ ซึ่งต้องตรวจสอบก่อน
“การกระจายเป็นการซื้อขายสหสัมพันธ์ล้วนที่ทำได้โดยตรง” ขาออปชันจำนวนมากยังมีความเสี่ยงจากพื้นผิวความผันผวน การกระโดด การซื้อขาย วงจรชีวิต และเงินทุน

หัวข้อที่เกี่ยวข้อง

แหล่งข้อมูลที่เชื่อถือได้

Cboe COR3M White Paper — กลไกองค์ประกอบ น้ำหนัก อายุ และค่าอ้างอิงเดลตาที่กำหนด ไม่ใช่สหสัมพันธ์ ATM หรือสัญญาแลกเปลี่ยนความแปรปรวนทั่วไป
Cboe Implied Correlation — ภาพรวมตระกูลผลิตภัณฑ์ โครงสร้างอายุ และความเอียงปัจจุบัน แต่ไม่เพียงพอสำหรับทำซ้ำทุกรุ่นในอดีต
Cboe S&P 500 Dispersion Index Methodology — วิธีสร้างการกระจายคาดหมาย DSPX ซึ่ง DSPX ไม่ใช่สหสัมพันธ์โดยนัย
Cboe VIX Mathematics Methodology — ความแปรปรวนจากแถบออปชันแบบไม่อิงแบบจำลองและการถ่วงน้ำหนักราคา ไม่ใช่เอกลักษณ์ IV ที่ ATM ของหุ้นรายตัว
S&P Index Mathematics Methodology — น้ำหนัก ตัวหาร และการดำเนินการของบริษัทในดัชนี ไม่ใช่ความแปรปรวนหรือสหสัมพันธ์ของออปชัน
Markowitz, Portfolio Selection — รากฐานความแปรปรวนร่วมและการกระจายความเสี่ยงของพอร์ต ไม่ใช่ตัวประมาณค่าโดยนัยจากออปชัน
Skintzi and Refenes, Implied Correlation Index — การสร้างและตีความสหสัมพันธ์โดยนัยเชิงวิชาการ ไม่ใช่กฎ Cboe ปัจจุบัน
Driessen, Maenhout and Vilkov, The Price of Correlation Risk — หลักฐานเรื่องความเสี่ยงสหสัมพันธ์โดยนัยจากออปชันและการกระจาย ไม่ใช่ผลตอบแทนจากการซื้อขายที่รับประกัน