SVI 波動率模型：在無靜態套利約束下擬合總變異數

僅供教育參考，不構成投資建議

直接答案

SVI 全稱 Stochastic Volatility Inspired，是描述某一期限不同履約價的隱含總變異數的參數形式。Raw SVI 寫作：

w(k) = a + b{ρ(k−m) + √[(k−m)² + σ²]}

其中 w(k) = σ_imp²(k,T)T，k = ln(K/F_T) 是對數遠期價性。Raw SVI 用五個參數把離散選擇權報價轉為平滑微笑，用於插值、盯市、希臘值和相對價值診斷。

雖然名稱含「隨機波動率」，擬合後的一條 SVI 曲線本身不是隨機過程，也不預測未來波動率。它描述靜態風險中性價格曲面；不同期限如何連接、曲面如何隨時間移動仍須另行規定。

左右漸近總變異數斜率分別為 b(1−ρ) 與 b(1+ρ)。最低總變異數為：

w_min = a + bσ√(1−ρ²)

所以非負需要 a + bσ√(1−ρ²) ≥ 0。這些基本限制不能保證沒有蝶式套利。

對二次可微的總變異數微笑，常用密度條件是：

g(k) = [1 − kw'(k)/(2w(k))]² − [w'(k)²/4][1/w(k)+1/4] + w''(k)/2 ≥ 0

並須有合適的翼部行為。連續履約價構造中，負 g(k) 對應負風險中性密度。可靠實作應施加解析無套利區間，或在夠寬、夠密網格和翼部檢查；視覺平滑與低均方誤差並不足夠。

分別校準各到期日，合併後仍可能跨期限相交。在一致遠期和折現慣例下，標準無日曆套利構造要求固定對數遠期價性處的總變異數不應隨期限下降。SSVI 等形式用顯式限制連接期限。事件到期日可能形成真實總變異數台階；無套利控制應保留有效事件資訊，而非為視覺平滑刪除。

設 T = 0.25 年且：

a = 0.01, b = 0.10, ρ = −0.5, m = 0, σ = 0.20

正值最低點為：

w_min = 0.01 + 0.10×0.20×√(1−0.5²) = 0.02732 > 0

計算三個對數價性節點：

在 k = 0：

w(0) = 0.01 + 0.10×0.20 = 0.03000

在 k = −0.20：

w(−0.20) = 0.01 + 0.10[0.10 + √(0.20²+0.20²)] = 0.04828

負 ρ 產生更陡左翼。左右漸近斜率分別是 0.10(1−(−0.5)) = 0.15 與 0.10(1+(−0.5)) = 0.05。

此計算不能證明市場擬合良好或無靜態套利。整條曲線仍需 g(k)/密度和翼部檢查，相鄰期限需要日曆檢查。這些是由總變異數導出的年化 IV；跨期限比較應使用 w，不能機械比較原始 IV。