Speed 希臘值：標的變動時 Gamma 如何變化

僅供教育參考，不構成投資建議

直接答案

Speed 衡量在模型其他輸入不變時，選擇權 Gamma 隨標的價格變化的速度：

Speed = ∂Γ/∂S = ∂³V/∂S³

Delta 是選擇權價值對現貨價格的一階導數，Gamma 是二階，Speed 是三階。若 Gamma 的單位是標的每變動 $1² 對選擇權價值的影響，Speed 的單位就是每 $1³ 的選擇權價值。標準股票選擇權需把每股敏感度乘以合約乘數，才是單張合約的近似影響。

當預想的現貨變動足以顯著改變投資組合 Delta 和 Gamma 時，Speed 可描述非線性。它不預測行情，也不是可直接觀察的市場價格，而是取決於現價、履約價、期限、波動率、利率、股息、行使特徵及波動率曲面動態的局部模型敏感度。

對較小的現貨變動 ΔS，Delta 的局部展開為：

Δ_新 ≈ Δ_舊 + ΓΔS + ½ Speed(ΔS)²

Gamma 項假設 Delta 局部線性變化；Speed 是 Gamma 沿價格路徑變化的第一項修正。等價地：

Γ_新 ≈ Γ_舊 + Speed × ΔS

大幅跳空、障礙結構、離散股息、行使邊界或隱含波動率曲面變化時，不應延伸使用這些近似；顯著變動應直接重新定價。

在含連續股息率的 Black–Scholes 模型下，歐式 Call 和 Put 有：

Γ = e^(−qT) φ(d₁) / (Sσ√T)

Speed = −(Γ/S) × [1 + d₁/(σ√T)]

其中 d₁ = [ln(S/K) + (r − q + ½σ²)T] / (σ√T)。在這些假設下，相同履約價和到期日的 Call 與 Put 具有相同 Gamma 和 Speed，因為買賣權平價只增加現貨的一次項和現金項。

Speed 不是 Color。 Speed 是 ∂Γ/∂S；Color 衡量 Gamma 對時間的敏感度。它也不是衡量 Gamma 對波動率敏感度的 Zomma。

沒有可信閉式公式時，可用中心有限差分：

Speed_h ≈ [Γ(S+h) − Γ(S−h)] / (2h)

兩個 Gamma 必須使用相同的波動率、時鐘、曲線、股息和數值設定，再用更小和更大的 h 重算。若結果劇烈變動，數值雜訊、損益不連續、曲面插值或不光滑的行使邏輯可能主導估值。高階希臘值通常比價格、Delta 或 Gamma 更不穩定。

假設一張歐式選擇權滿足：

Black–Scholes 結果約為：

令 h = $1：

Speed_h ≈ (0.039060 − 0.040246) / ($2) = −0.000593 每 $³

在 S = 100 時，d₁ = 0.05；閉式值為：

Speed = −(0.039844/100) × [1 + 0.05/0.10] = −0.000598 每 $³

差異來自有限差分和捨入。若其他輸入凍結且現貨上漲 +$5，Delta 的二階變化為：

ΓΔS + ½ Speed(ΔS)² ≈ 0.039844×5 + 0.5×(−0.000598)×25 = 0.19175

只用 Gamma 得到 0.19922；加入 Speed 後，局部估計減少約 0.00747 Delta。合約乘數為 100 時相當於 0.747 股。實際避險應以直接重估為準，尤其真實隱含波動率可能隨現貨變動。