SVI ボラティリティ・モデル：静的裁定を避けた総分散フィット

教育目的のみであり、投資助言ではありません

直接の答え

SVI（Stochastic Volatility Inspired）は、一満期のストライク横断でインプライド総分散を表す形式です。Raw SVI は：

w(k) = a + b{ρ(k−m) + √[(k−m)² + σ²]}

ここで w(k) = σ_imp²(k,T)T、k = ln(K/F_T) は対数フォワード・マネーネスです。五パラメーターで離散気配を滑らかなスマイルにし、補間、評価、Greek、相対価値診断に使います。

名前に「確率的ボラティリティ」とあっても、較正した SVI スライスは確率過程でも将来予測でもありません。静的なリスク中立価格サーフェスを記述し、満期間の接続や時間変化には別の規則が必要です。

左右の漸近勾配は b(1−ρ) と b(1+ρ)、最低総分散は：

w_min = a + bσ√(1−ρ²)

です。非負には a + bσ√(1−ρ²) ≥ 0 が必要ですが、これだけではバタフライ裁定がないことを保証しません。二回微分可能な総分散では、よく使われる密度条件が：

g(k) = [1 − kw'(k)/(2w(k))]² − [w'(k)²/4][1/w(k)+1/4] + w''(k)/2 ≥ 0

です。負の g(k) は連続ストライク構成で負のリスク中立密度に対応します。解析的制約か、十分広く密なグリッドと翼の検査が必要です。

各満期を独立較正すると時間方向に交差し得ます。一貫したフォワード・割引慣例では、固定対数フォワード・マネーネスの総分散は標準的な無カレンダー裁定構成で満期とともに減少すべきではありません。SSVI などは明示制約でスライスを結びます。イベント満期の正当な段差は見た目のために削りません。

T = 0.25 年で：

a = 0.01, b = 0.10, ρ = −0.5, m = 0, σ = 0.20

とすると：

w_min = 0.01 + 0.10×0.20×√(1−0.5²) = 0.02732 > 0

k = 0 では w(0) = 0.01 + 0.10×0.20 = 0.03000、k = −0.20 では：

w(−0.20) = 0.01 + 0.10[0.10 + √(0.20²+0.20²)] = 0.04828

負の ρ により左翼が急です。左右漸近勾配は 0.10(1−(−0.5)) = 0.15 と 0.10(1+(−0.5)) = 0.05 です。この計算だけでは市場フィットも静的無裁定も証明しません。全スライスに密度・翼、隣接満期にカレンダー検査が必要です。