Expected Shortfall опционов: потери за пределами VaR

Разберитесь, как Expected Shortfall измеряет средний убыток опционного портфеля в худшем хвосте, зачем нужна полная переоценка и как горизонт, сценарии и ликвидность влияют на оценку.

Только в образовательных целях; не является инвестиционным советом или инвестиционной рекомендацией. Инвестиции могут привести к убыткам.

Краткий ответ

Expected Shortfall (ES) на уровне доверия alpha — это взвешенный по вероятностям средний убыток в худшей доле 1 - alpha смоделированных результатов. VaR определяет квантиль убытка, а ES измеряет тяжесть хвоста за пределами этого квантиля.

В опционных портфелях нелинейные выплаты, изменения поверхности волатильности, скачки и короткая Gamma могут сосредоточить очень крупные убытки в немногих сценариях, которые не описывает один порог VaR. ES остается модельной оценкой, а не максимальным убытком, прогнозом цены, маржинальным требованием или гарантией.

Определение и оценка

Пусть L обозначает убытки, а положительные числа обозначают убытки. Общее определение распределения:

ES_alpha = [1 / (1 - alpha)] x integral from alpha to 1 of VaR_u du

Для непрерывного распределения убытков формула равна условному среднему убытку за пределами alpha VaR. В конечной выборке или при наличии вероятностной массы на VaR простое усреднение всех наблюдений, равных VaR или превышающих его, может дать неверный результат. Нужно зафиксировать квантильное соглашение и при необходимости присвоить границе дробный вес.

Расчет ES для опционного портфеля обычно включает следующие шаги:

Выберите горизонт, уровень достоверности, временную метку оценки, валюту и соглашение об убытках.
Сформируйте совместные шоки для спот-цены, поверхности волатильности, ставок, дивидендов, стоимости займа акций и времени.
Полностью переоценить каждый опцион и застраховаться при каждом сценарии.
Учтите множитель контракта, количество, денежные средства, акции, комиссии и моделируемые затраты на исполнение или ликвидацию.
Отсортируйте убытки портфеля и усредните требуемый наихудший хвост с весами сценария.

Историческое моделирование воспроизводит наблюдавшиеся совместные изменения и сохраняет связи из выбранной выборки, но не включает кризисы и смены режима за ее пределами. Моделирование Монте-Карло позволяет создать больше сценариев и целенаправленно моделировать хвост, однако результат зависит от предположений о распределении, корреляции, волатильности, скачках и динамике поверхности. Вероятности сценариев должны отвечать задаче измерения риска: риск-нейтральное распределение для оценки опционов не становится автоматически реальным распределением убытков. Дельта-нормальное приближение работает быстро, но может существенно не учесть Gamma, Vega, skew, барьеры, досрочное исполнение и гэпы.

Горизонт должен соответствовать решению. Однодневный ES не измеряет убыток позиции, ликвидация которой в стрессовых условиях занимает несколько дней. Оценка с поправкой на ликвидность должна раскрывать учет спредов, влияния на рынок, частичного исполнения и разных горизонтов ликвидации; масштабирование по квадратному корню из времени особенно ненадежно для нелинейных опционов и скачков.

Тот же VaR, другой хвост

Предположим десять одинаково взвешенных и полностью переоцененных однодневных сценариев. Убытки исчисляются тысячами долларов и уже отсортированы от лучшего к худшему:

Портфель А: -5, -3, 0, 1, 2, 4, 6, 8, 20, 100
Портфель Б: -5, -3, 0, 1, 2, 4, 6, 8, 9, 11

Используя наименьший убыток, кумулятивная вероятность которого достигает 80 %, оба портфеля имеют:

80% VaR = $8,000

Худшие 20 % содержат два одинаково взвешенных результата. Поэтому:

ES_80%(A) = ($20,000 + $100,000) / 2 = $60,000

ES_80%(B) = ($9,000 + $11,000) / 2 = $10,000

Только VaR делает портфели идентичными на пороговом уровне. ES показывает, что Портфель А имеет гораздо более серьезную потерю хвоста. Выборка намеренно мала для арифметической ясности; оценки добычи требуют множества наблюдений или сценариев, правил взвешивания, анализа стабильности и независимых стресс-тестов.

Для короткого опциона каждый сценарий должен переоценивать опцион, а не ограничивать потери полученной опционной премией. Гэп может одновременно изменить дельту и IV, расширить спред, вызвать потребность в марже и предотвратить ликвидацию на теоретической отметке.

Контрольный список внедрения и проверки

Государственный знак потерь, базовая валюта, уровень достоверности, горизонт и время оценки.
Запишите, является ли ES историческим, параметрическим, фильтрованным историческим или методом Монте-Карло.
Сохранение зависимостей между активами, сроками действия и спотовой волатильностью.
Применяйте шоки ко всей поверхности волатильности, а не только к одному номеру ATM IV.
Используйте полную переоценку для существенных нелинейных и зависящих от пути позиций.
Включите акции, денежные средства, дивиденды, ставки, займы, мультипликаторы и все варианты опционов.
Рассматривайте сценарии исполнения американских опционов своим держателем (упражнения) и размещения опционов (переуступки) на продажу отдельно от оценки модели.
Явно добавьте предположения спроса и предложения, влияния на рынок, отложенной ликвидации и частичного исполнения.
Включите ночные прыжки и события, отсутствующие в недавней истории.
Проверьте длину выборки, недостающие данные, устаревшие котировки, корпоративные действия и систематическую ошибку выжившего.
Сравните скользящие оценки для спокойных и напряженных периодов.
Протестируйте превышения VaR, а также сравните реализованную величину хвостовых потерь с прогнозами ES.
Использовать детерминированные стрессовые сценарии наряду с ЧС; редкие немоделированные состояния могут доминировать над потерями опционов.
Сообщайте о концентрации и вкладах в сценарии, а не только об одном общем портфеле.
Перерасчет после изменения позиции, поверхности, корреляции, ликвидности или условий маржи.
Обеспечьте воспроизводимость версии модели, случайного начального числа, если это необходимо, моментального снимка данных и правил преобразования.
Установить лимиты позиций исходя из емкости риска; не перепроектируйте оптимистические предположения, чтобы они соответствовали желаемой сделке.

Распространённые заблуждения

«ЧС — это худшая возможная потеря». Он усредняет смоделированный хвост; результаты за пределами выборки могут быть хуже.
«99 % ES означает лишь 1 % вероятности проигрыша». Уровень уверенности определяет хвост, а не вероятность каких-либо потерь.
«ЭС прогнозирует завтрашнюю потерю». Он суммирует условное смоделированное распределение.
«Условно-средний ярлык всегда работает». Атомы и конечные образцы требуют установленного соглашения о границах.
«Два портфеля с равным VaR имеют одинаковый риск». Их потери за пределами VaR могут резко различаться.
«Больше сценариев гарантируют точность». Плохая динамика или данные могут привести к явно выглядящей ошибке.
«Историческая ES не имеет модельных предположений». Окно, взвешивание, картографирование, очистка и переоценка — это варианты моделирования.
«Дельты достаточно для варианта ES». Большие перемещения изменяют Дельту и подвергают риску Гамму, Вегу, перекос и скачок.
«Стратегии с установленным риском не нуждаются в ES». Хвостовой путь, ликвидность, размещение опционов на продажу (уступка) и концентрация по-прежнему имеют значение, даже если потери по истечении срока действия ограничены.
«ES автоматически включает все операционные потери». Ликвидация маржи, леггинг, исполнение опциона его держателем (exercise) и расчеты должны моделироваться явно.
«Более низкий ES доказывает, что сделка лучше». Он измеряет один аспект риска и сам по себе ничего не говорит об ожидаемой доходности или пригодности.