Speed Greek: 기초자산이 움직일 때 Gamma가 변하는 방식

교육 목적으로만 제공되며 투자 조언이 아닙니다

직접 답변

Speed는 모형의 다른 입력을 고정했을 때 기초자산 가격 변화에 따라 옵션 Gamma가 변하는 비율입니다.

Speed = ∂Γ/∂S = ∂³V/∂S³

Delta는 옵션 가치의 현물가격에 대한 1차 미분, Gamma는 2차, Speed는 3차 미분입니다. Gamma를 기초자산의 $1² 변동당 옵션 가치 변화로 표시하면 Speed 단위는 $1³당 옵션 가치입니다. 표준 주식 옵션은 주당 민감도에 계약 승수를 곱해야 계약당 근삿값이 됩니다.

예상하는 현물 움직임 안에서 포트폴리오 Delta와 Gamma가 크게 변할 수 있을 때 Speed는 비선형성을 설명하는 데 유용합니다. 방향을 예측하지 않으며 직접 관측되는 시장가격도 아닙니다. 현물, 행사가, 시간, 변동성, 금리, 배당, 행사 조건과 선택한 변동성 표면 동학에 의존하는 국소 모형 민감도입니다.

Gamma 기울기에서 헤지 곡률까지

작은 현물 변동 ΔS에 대한 Delta의 국소 전개는 다음과 같습니다.

Δ_신규 ≈ Δ_기존 + ΓΔS + ½ Speed(ΔS)²

Gamma 항은 Delta의 국소 선형 변화를 가정하고, Speed는 가격 경로를 따라 Gamma가 바뀌는 첫 번째 보정입니다. 같은 뜻으로:

Γ_신규 ≈ Γ_기존 + Speed × ΔS

큰 갭, 배리어, 이산 배당, 행사 경계 또는 변하는 내재변동성 표면에 이 근사를 확대 적용하면 안 됩니다. 움직임이 크면 직접 재평가해야 합니다.

연속 배당수익률을 포함한 Black–Scholes의 유럽형 Call 또는 Put은:

Γ = e^(−qT) φ(d₁) / (Sσ√T)

Speed = −(Γ/S) × [1 + d₁/(σ√T)]

여기서 d₁ = [ln(S/K) + (r − q + ½σ²)T] / (σ√T)입니다. 이 가정에서는 같은 행사가와 만기의 Call과 Put이 동일한 Gamma와 Speed를 가집니다. 풋-콜 패리티가 더하는 것은 현물의 1차 항과 현금 항뿐이기 때문입니다.

Speed는 Color가 아닙니다. Speed는 ∂Γ/∂S이고 Color는 Gamma의 시간 민감도입니다. Gamma의 변동성 민감도를 측정하는 Zomma와도 다릅니다.

가격 모형에서 추정하기

신뢰할 분석식이 없으면 대칭 유한차분을 사용합니다.

Speed_h ≈ [Γ(S+h) − Γ(S−h)] / (2h)

같은 변동성, 시간 기준, 곡선, 배당과 수치 설정으로 Gamma를 계산하고 더 작은 h와 큰 h로 반복합니다. 결과가 급변하면 수치 잡음, 페이오프 불연속, 표면 보간 또는 매끄럽지 않은 행사 로직이 추정을 지배할 수 있습니다. 고차 Greek은 일반적으로 가격, Delta 또는 Gamma보다 불안정합니다.

예시: 분석값과 유한차분

다음 유럽형 옵션을 가정합니다.

S = 100, K = 100
T = 0.25년, σ = 20%
r = 0, q = 0

Black–Scholes 결과는 대략 다음과 같습니다.

현물	Gamma
`$99`	`0.040246`
`$100`	`0.039844`
`$101`	`0.039060`

h = $1을 사용하면:

Speed_h ≈ (0.039060 − 0.040246) / ($2) = −0.000593 / $³

S = 100에서 d₁ = 0.05이므로 닫힌형 값은:

Speed = −(0.039844/100) × [1 + 0.05/0.10] = −0.000598 / $³

차이는 유한차분과 반올림에서 생깁니다. 입력을 고정한 가상의 +$5 움직임에서 Delta의 2차 변화는:

ΓΔS + ½ Speed(ΔS)² ≈ 0.039844×5 + 0.5×(−0.000598)×25 = 0.19175

Gamma만 사용하면 0.19922입니다. Speed를 포함하면 국소 추정치는 약 0.00747 Delta, 승수 100이면 0.747주만큼 작아집니다. 실제 IV가 현물과 함께 움직일 수 있으므로 현실의 헤지는 직접 재평가로 결정해야 합니다.

거짓 정밀도를 피하는 사용법

주당, 포인트당, 1%당 또는 계약당인지 단위를 명시합니다. 단위 오류는 자릿수가 달라질 수 있습니다.
편미분에서 고정한 입력을 기록하고 표면 이동은 별도 시나리오로 실행합니다.
부호가 있는 Speed를 기초자산, 만기, 시나리오별로 합산합니다. 순액은 반대 방향 집중을 숨길 수 있습니다.
여러 유한차분 범프와 가능한 경우 분석식 또는 자동미분 결과를 비교합니다.
의미 있는 움직임 뒤에는 3차 Taylor 근사 대신 재평가합니다.
만기 임박과 등가격 부근 포지션을 자주 확인합니다. 민감도 형상이 좁고 커질 수 있습니다.
Bid-Ask, 갭, 거래정지, 이산 헤지, 비용, 배정과 브로커 한도를 포함합니다.
Speed만 헤지하다 더 큰 Delta, Gamma, Vega 또는 유동성 위험을 만들지 않습니다.
미국형 행사, 조정 계약, 배리어와 불연속 페이오프에는 전용 모형을 사용합니다.
변동성 좌표와 sticky 규칙을 기록합니다. 고정 행사가 IV와 전체 표면 이동은 다른 손익을 냅니다.
작은 국소 Greek이 아니라 실행 가능한 스트레스 손실과 현금 수요로 규모를 정합니다.

흔한 오해

“Speed 절댓값이 크면 옵션이 비싸다.” Speed는 국소 곡률이지 가격 수준이나 가치를 뜻하지 않습니다.
“Gamma가 양수면 Speed도 양수다.” Gamma가 양수여도 현물 방향 기울기는 음수일 수 있고 부호는 위치에 따라 바뀝니다.
“Speed는 시간의 속도를 측정한다.” Theta나 Color 같은 시간 민감도와 혼동한 것입니다.
“Speed 중립이면 Gamma 중립이 유지된다.” 중립은 국소적이며 입력, 표면 동학과 큰 변동이 Gamma를 바꿉니다.
“화면의 Greek은 시장 데이터다.” 모형과 관례의 출력입니다.
“Speed를 더하면 Taylor 추정이 정확해진다.” 4차 이상 항과 변동성·시간 변화가 남습니다.