Speed Greek：原資産が動くと Gamma はどう変わるか

教育目的のみであり、投資助言ではありません

直接の答え

Speed は、モデルの他の入力を固定したとき、原資産価格の変化に対してオプションの Gamma が変わる率です。

Speed = ∂Γ/∂S = ∂³V/∂S³

Delta はオプション価値のスポットに関する一階微分、Gamma は二階、Speed は三階です。Gamma を原資産の $1² 変動当たりのオプション価値変化で表すなら、Speed の単位は $1³ 当たりのオプション価値です。標準的な株式オプションでは、一株当たり感応度に契約乗数を掛けると、一契約の近似値になります。

想定するスポット変動の中でポートフォリオの Delta と Gamma が大きく変わり得る場合、Speed は非線形性の把握に役立ちます。値動きを予測せず、直接観測できる市場価格でもありません。スポット、権利行使価格、時間、ボラティリティ、金利、配当、行使条件、選択したボラティリティ・サーフェス動学に依存する局所的なモデル感応度です。

Gamma の傾きとヘッジの曲率

小さなスポット変動 ΔS に対する Delta の局所展開は：

Δ_新 ≈ Δ_旧 + ΓΔS + ½ Speed(ΔS)²

Gamma 項は Delta の局所的な線形変化を仮定し、Speed は値動きに沿って Gamma が変わる最初の補正です。同様に：

Γ_新 ≈ Γ_旧 + Speed × ΔS

大きなギャップ、バリア、離散配当、行使境界、変化するインプライド・ボラティリティ・サーフェスにこの近似を引き延ばしてはいけません。重要な変動は再評価します。

連続配当利回りを含む Black–Scholes の欧州型 Call または Put では：

Γ = e^(−qT) φ(d₁) / (Sσ√T)

Speed = −(Γ/S) × [1 + d₁/(σ√T)]

ここで d₁ = [ln(S/K) + (r − q + ½σ²)T] / (σ√T) です。この仮定では、同じ権利行使価格と満期の Call と Put は同じ Gamma と Speed を持ちます。Put-Call パリティが加えるのはスポットの一次項と現金項だからです。

Speed は Color ではありません。 Speed は ∂Γ/∂S、Color は Gamma の時間感応度です。Gamma のボラティリティ感応度を表す Zomma とも異なります。

価格評価システムからの推定

信頼できる解析式がない場合は対称有限差分を使います。

Speed_h ≈ [Γ(S+h) − Γ(S−h)] / (2h)

同じボラティリティ、時計、曲線、配当、数値設定で Gamma を計算し、より小さい h と大きい h でも繰り返します。結果が急変するなら、数値ノイズ、ペイオフの不連続、サーフェス補間、滑らかでない行使ロジックが推定を支配している可能性があります。高階 Greek は価格、Delta、Gamma より不安定になりがちです。

例：解析値と有限差分

次の欧州型オプションを仮定します。

S = 100、K = 100
T = 0.25 年、σ = 20%
r = 0、q = 0

Black–Scholes では概ね：

スポット	Gamma
`$99`	`0.040246`
`$100`	`0.039844`
`$101`	`0.039060`

h = $1 とすると：

Speed_h ≈ (0.039060 − 0.040246) / ($2) = −0.000593 / $³

S = 100 では d₁ = 0.05 なので、閉形式は：

Speed = −(0.039844/100) × [1 + 0.05/0.10] = −0.000598 / $³

差は有限差分と丸めによります。入力を固定した仮想的な +$5 変動に対し、Delta の二次近似変化は：

ΓΔS + ½ Speed(ΔS)² ≈ 0.039844×5 + 0.5×(−0.000598)×25 = 0.19175

Gamma だけなら 0.19922 です。Speed を入れると局所推定は約 0.00747 Delta、乗数 100 なら 0.747 株分小さくなります。実際の IV はスポットとともに動き得るため、現実のヘッジは直接の再評価で決めます。

偽の精密さを避ける使い方

一株、1ポイント、1%、一契約のどの単位かを明記します。単位ミスは桁違いになります。
偏微分で固定した入力を記録し、サーフェス変動は別シナリオで実行します。
符号付き Speed を原資産、満期、シナリオ別に集計します。純額は逆方向の集中を隠し得ます。
有限差分の複数バンプと、可能なら解析解または自動微分を比較します。
大きな変動後は三階 Taylor 近似ではなく再評価します。
満期直前・ATM 付近を頻繁に確認します。感応度は狭く大きくなり得ます。
Bid-Ask、ギャップ、取引停止、離散ヘッジ、費用、割当、ブローカー制限を含めます。
Speed 単独のヘッジで Delta、Gamma、Vega、流動性リスクを増やしません。
米国型行使、調整契約、バリア、不連続ペイオフには固有モデルを使います。
ボラティリティ座標と sticky 規則を記録します。固定ストライク IV とサーフェス全体の移動では損益が異なります。
ポジション量は小さな局所 Greek でなく、執行可能なストレス損失と資金需要で決めます。

よくある誤解

「Speed の絶対値が大きければ高価なオプションだ。」 局所曲率であり、価格水準や割安・割高ではありません。
「Gamma が正なら Speed も正だ。」 Gamma が正でもスポット方向の傾きは負になり、符号は位置で変わります。
「Speed は時間の速さを測る。」 Theta や Color との混同です。
「Speed 中立なら Gamma 中立が続く。」 中立は局所的で、入力、サーフェス動学、大きな変動で Gamma は変わります。
「画面の Greek は市場データだ。」 モデルと慣例の出力です。
「Speed を加えれば Taylor 推定は厳密だ。」 四階以上の項、ボラティリティ、時間変化が残ります。