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ボラティリティ補間：疎なオプション気配をつなぐ

教育目的のみであり、投資助言ではありません

直接の答え

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ボラティリティ補間は、気配があるストライクと満期の間の価格または IV を推定します。市場ノードは離散的でノイズを含む一方、評価・リスクには連続サーフェスが必要です。単に2つの IV を平均せず、経済的に比較可能な座標と取引可能入力を使い、補間後価格の無裁定形状を確認します。

満期間では一貫したマネーネスで累積総分散 w = σ²T を補間し、年率 IV を機械的に平均しません。ストライク間では k = ln(K/F_T)、Delta、または裁定制約価格を使います。補間は観測間、フィットは観測の要約、外挿は観測外であり、外挿のモデルリスクが大きくなります。

座標、データ、制約

Section titled “座標、データ、制約”

金利、配当、借株、時間がフォワード F_T を動かすため、絶対ストライクは満期間で比較できません。100 が一満期の ATM でも別満期では中心外です。k = ln(K/F_T) は各満期フォワードへの相対位置です。

不確実性は総分散として蓄積します：

w(k,T) = σ_imp(k,T)^2 × T

同じマネーネスで負の区間フォワード分散が出れば、気配、フォワード、イベント、補間の不整合を調べます。ストライク軸では未割引 Call 価格は非増加かつ凸であるべきです。凸性違反は負費用・非負ペイオフのバタフライ、期間違反はカレンダー不整合になり得ます。

フィット前に同期両側気配を使い、交差市場と価格境界違反を除外し、ゼロ Bid と広いウイングを慎重に扱い、フォワードと割引を統一し、Bid/Ask 区間を保存します。平滑化は悪いノードを修復せず拡散します。

線形は透明でも傾きが折れ、無制約スプラインは過大振幅します。Delta は市場慣行に合いますが IV に依存します。SVI は簡潔でもパラメータ・満期制約が必要です。価格空間なら単調凸性を直接管理して IV に戻せます。

総分散の例

Section titled “総分散の例”

同等 ATM IV が 30 日で 20%、60 日で 24%、365日年基準とします。

w30 = 0.20^2 × 30/365 ≈ 0.00329

w60 = 0.24^2 × 60/365 ≈ 0.00947

45 日へ総分散を線形補間：

w45 = w30 + (45−30)/(60−30) × (w60−w30) ≈ 0.00638

σ45 = sqrt[w45/(45/365)] ≈ 22.75%

IV の直接平均は 22% で異なります。年率ボラは累積分散ではないためです。満期間に決算があれば機械補間は不適切で、イベントを含む期間だけにイベント分散を割り当てます。

ストライク例ではフォワード $100、90 IV 28%、100 IV 22%、110 IV 24%。95 の暫定直線値は 25% です。局所推定にすぎず、生成した Call 価格が低下し凸であるか再評価し、追加ノードの曲率を確認します。

検証とモデル管理

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  • 生気配、時刻、フォワード、割引、配当、フィルター、座標、ノット、パラメータ、ソルバーを版管理します。
  • 全リスク値を観測、補間、外挿に分類し、ウイング・遠期ほどモデル準備を増やします。
  • 全グリッドを再評価し、価格境界、単調性、バタフライ凸性、満期間整合を検査します。
  • 中値残差だけでなく取引可能 Bid/Ask と比較します。
  • 流動ノードを一つ除外して再フィットし、市場区間内に復元できるか確認します。
  • ATM、下方、上方、満期別に誤差を報告し、全体平均でテール失敗を隠しません。
  • 1気配、フォワード、ノット、手法を変え、価格と Greeks の感応度を調べます。
  • イベント分散を明示し、見た目の平滑さのため実在する段差を消しません。
  • 複数外挿規則を比較してテールをストレスします。
  • 小入力で大きく跳ぶか説明不能な負フォワード分散なら公開を止めます。

よくある誤解

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  • 「中間 IV は2点平均。」 期間は総分散、ストライクは形状を守ります。
  • 「最も滑らかな曲線が正確。」 イベントを消し裁定を隠し得ます。
  • 「全中値が有効ノード。」 広い、古い、片側市場は取引不能です。
  • 「ノード完全一致なら無裁定。」 ノード間・満期間で違反します。
  • 「補間と外挿は同じ信頼度。」 外挿には片側または両側観測がありません。
  • 「絶対ストライクは満期間で安定。」 フォワード・キャリーがマネーネスを変えます。
  • 「価格フィットが良ければ Greeks も安定。」 微分はノイズとノットを増幅します。
  • 「負フォワード分散は取引シグナル。」 データ、単位、イベント、曲面を先に調査します。

関連トピック

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権威ある情報源

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