Delta 與 Gamma：衡量方向和變動中的曝險

僅供教育參考，不構成投資建議

直接答案

Delta 估算其他模型輸入近似不變時，底層價格小幅變化會使選擇權價值改變多少。Gamma 估算底層每變化一個單位，Delta 本身改變多少。

Delta = ∂ 選擇權價值 / ∂ 底層價格

Gamma = ∂ Delta / ∂ 底層價格 = ∂² 選擇權價值 / ∂ 底層價格²

Delta 是目前斜率，Gamma 衡量曲率。因此 Delta 並不固定；目前 Delta 中性的組合，底層移動後可能重新產生方向曝險。

選擇權價值曲線及其 Delta 切線和 Gamma 斜率變化示意圖 — Delta 描述某一點的切線斜率；Gamma 描述標的價格變化時 Delta 如何變化。

符號、單位與部位曝險

普通選擇權多頭中，Call Delta 通常在 0 到 +1，Put Delta 在 -1 到 0。Long Call 與 Long Put 通常為正 Gamma；賣出則反轉 Delta 與 Gamma 符號。

部位	Delta	Gamma	基本含義
Long Call	正	正	價格上漲時上行曝險增加
Short Call	負	負	價格上漲時虧損加速
Long Put	負	正	價格上漲時負 Delta 減少
Short Put	正	負	價格下跌時下行曝險增加

部位 Delta 等效股數 = 選擇權 Delta × 乘數 × 合約數

部位 Gamma（每漲1美元的等效股數變化）= 選擇權 Gamma × 乘數 × 合約數

10口標準 Call 的 Delta 0.50，等效 Delta 約 0.50 × 100 × 10 = 500股。若 Gamma 0.04，部位 Gamma 為 0.04 × 100 × 10 = 40股等效 Delta/每 $1變化。

這是局部模型估計，不是真實持股。Delta 與 Gamma 會隨價格、時間、IV、利率、股息和模型口徑變化。

小幅變化近似

底層變化 ΔS、其他輸入不變時：

選擇權價值變化 ≈ Delta × ΔS + 0.5 × Gamma × (ΔS)²

新 Delta ≈ 舊 Delta + Gamma × ΔS

Gamma 項在直線估計上加入曲率。大幅跳空、高 Gamma、IV 改變、時間流逝或不連續市場會擴大誤差，重大情境應完整重新定價。

為何價平與臨近到期 Gamma 較高

Gamma 通常在價平附近最高，因小幅價格變化最能改變最終價內或價外狀態。臨近到期時，轉換在更短時間發生，Delta 可迅速趨向到期端點；深度價內與價外通常 Gamma 較低。

Long Gamma 提供有利曲率，但通常伴隨負 Theta，持有人透過時間衰減為凸性付費。Short Gamma 往往收取 Theta，卻可能在大行情中被迫越來越不利地再避險。兩者都不是免費優勢。

範例一：單口價格近似

Call 價值 $4.00，Delta 0.50、Gamma 0.04、乘數100。股價上漲 $2，忽略時間與 IV：

價格變化 ≈ 0.50 × 2 + 0.5 × 0.04 × 2² = 每股 $1.08

合約變化 ≈ $1.08 × 100 = $108

新 Delta ≈ 0.50 + 0.04 × 2 = 0.58

只用 Delta 的估計為 $1.00，Gamma 增加 $0.08。若股價下跌 $2，局部計算為 0.50 × (-2) + 0.5 × 0.04 × 4 = -$0.92，新 Delta 約 0.42。在輸入凍結近似下，正 Gamma 使同等上漲收益大於下跌損失。

範例二：Delta 中性避險漂移

帳戶持有10口 Call，每口 Delta 0.50、Gamma 0.04，並放空500股抵銷初始 +500期權 Delta。

股價上漲 $3：

估算新期權 Delta = (0.50 + 0.04 × 3) × 100 × 10 = +620股

已有 -500股避險後，淨 Delta 約 +120，恢復中性需再賣約120股。

若股價下跌 $3，估算期權 Delta 為 +380股，淨 Delta -120，恢復中性需買約120股。Long Gamma 再避險呈現漲後賣、跌後買，但收益須超過 Theta、價差、佣金、滑價、IV、跳空與不完美避險。

組合工作流程

確認平台 Greek 是每股或每口。
每腿乘以方向、乘數、比例和數量。
只在相容底層單位下彙總 Delta 與 Gamma。
指數或 ETF 避險按名目金額、Beta 與基差換算。
計算多個上漲和下跌情境，不只看目前點位。
加入 Theta 與 Vega；Delta-Gamma 不是完整重估。
Short Gamma 壓測跳空和臨近到期。
按風險與成本設再避險門檻，不假設連續交易。
時間、IV、股息或轉倉後重新計算。
重大決策用完整定價複核近似值。

風險與邊界

**局部近似：**Greek 只描述目前輸入附近的小變化。
**Gamma 漂移：**價平臨近到期時 Delta 可快速改變。
**跳空：**執行前市場可能跨過多個避險門檻。
**IV 與偏斜：**波動率變化可壓倒固定 IV 估計。
**Theta-Gamma 交換：**Long 凸性通常付出時間價值。
**Short Gamma：**趨勢和跳空中不利再避險會累積。
**單位與乘數：**每股、每點、每口、組合單位可能不同。
**基差：**ETF、期貨或股票避險可偏離參考標的。
**流動性成本：**理論調整未必能經濟成交。
**模型風險：**平台利率、股息、曲面和口徑不同。

常見誤解

「Delta 到期前固定。」Gamma 與輸入會持續改變它。
「Delta 就是真實持股數。」它是等效股數表示的局部敏感度。
「Delta 0.50 保證上漲0.50。」其他變數會變，估計是局部的。
「Delta 永遠等於價內機率。」它首先是價格敏感度。
「Gamma 直接表示美元損益。」還需價格變化、乘數和數量。
「只有 Call 有正 Gamma。」Long Call 與 Long Put 通常都有。
「正 Gamma 保證獲利。」權利金、Theta、IV 和執行決定結果。
「Delta 中性就是無風險。」Gamma、Vega、Theta、跳空和基差仍在。
「目前 Delta 小，Short Gamma 就安全。」一次移動可迅速放大 Delta。
「不同平台 Greek 可直接相加。」單位和模型假設必須一致。