Delta と Gamma：方向と変化するエクスポージャー

教育目的のみであり、投資助言ではありません

直接の答え

Delta は他のモデル入力がおおむね一定のとき、原資産の小幅変化に対するオプション価値の変化を推定します。Gamma は原資産が1単位動くと Delta がどれだけ変わるかを推定します。

Delta = ∂ オプション価値 / ∂ 原資産価格

Gamma = ∂ Delta / ∂ 原資産価格 = ∂² オプション価値 / ∂ 原資産価格²

Delta は現在の傾き、Gamma は曲率です。Delta は固定ではなく、現在中立なポートフォリオも値動き後に方向性を持ちます。

オプション価値の曲線、Delta の接線、Gamma による傾きの変化を示す図 — Delta は一点での接線の傾き、Gamma は原資産価格の変化に伴う Delta の変化を表します。

符号、単位、ポジション量

通常、Long Call の Delta は 0～+1、Long Put は -1～0。Long Call と Long Put は正 Gamma で、売ると両方の符号が反転します。

ポジション	Delta	Gamma	基本的意味
Long Call	正	正	上昇時に上方エクスポージャーが増える
Short Call	負	負	上昇時に損失が加速する
Long Put	負	正	上昇時に負 Delta が小さくなる
Short Put	正	負	下落時に下方エクスポージャーが増える

ポジション Delta（株式換算）= Delta × 乗数 × 契約数

ポジション Gamma（$1当たり株式換算変化）= Gamma × 乗数 × 契約数

Delta 0.50 の標準 Call 10枚は 0.50 × 100 × 10 = 500株相当。Gamma 0.04なら 0.04 × 100 × 10 = 40株相当 Delta/$1です。

これは局所モデル推定で、実際の株式保有ではありません。価格、時間、IV、金利、配当、モデルで変化します。

小幅変化の近似

原資産変化を ΔS とすると：

価値変化 ≈ Delta × ΔS + 0.5 × Gamma × (ΔS)²

新 Delta ≈ 旧 Delta + Gamma × ΔS

Gamma 項が線形推定に曲率を加えます。大幅ギャップ、高 Gamma、IV変化、時間経過、不連続市場では誤差が拡大するため、重要な場面は完全再評価します。

ATM・満期付近で Gamma が高い理由

ATM では小さな値動きが満期の ITM/OTM を最も変えます。満期が近いほど短時間に移行し、Delta は端点へ急変します。深い ITM/OTM の Gamma は通常低くなります。

Long Gamma は有利な曲率を持つ一方、通常は負 Theta です。Short Gamma は Theta を受け取ることが多い反面、大きな動きで不利な再ヘッジを強いられます。

例1：1契約の価格近似

Call 価格 $4.00、Delta 0.50、Gamma 0.04、乗数100。株価が $2上昇し、時間と IV を固定すると：

価格変化 ≈ 0.50 × 2 + 0.5 × 0.04 × 2² = 1株 $1.08

契約変化 ≈ $1.08 × 100 = $108

新 Delta ≈ 0.50 + 0.04 × 2 = 0.58

Deltaだけなら $1.00、Gamma が $0.08を追加します。$2下落なら 0.50 × (-2) + 0.5 × 0.04 × 4 = -$0.92、新 Delta 約 0.42。入力固定近似では正 Gamma が同幅上昇益を下落損より大きくします。

例2：Delta中立ヘッジのずれ

Delta 0.50、Gamma 0.04 の Call 10枚を持ち、初期 +500 Deltaを相殺するため500株を空売りします。

株価が $3上昇：

推定新 Delta = (0.50 + 0.04 × 3) × 100 × 10 = +620株

既存 -500株後の純 Delta は +120。中立へ戻すには約120株を追加売却します。

$3下落なら推定 Delta は +380株、純 Delta -120なので約120株を買います。Long Gamma の再ヘッジは上昇後に売り、下落後に買いますが、利益は Theta、スプレッド、手数料、滑り、IV、ギャップ、不完全ヘッジを超える必要があります。

ポートフォリオ手順

Greek が1株単位か1契約単位か確認する。
各レッグに符号、乗数、比率、数量を掛ける。
互換性のある原資産単位だけ集計する。
指数・ETFヘッジは想定元本、Beta、ベーシスで換算する。
上下複数シナリオを計算する。
Theta と Vega も含め、完全再評価と比較する。
Short Gamma はギャップと満期付近をストレスする。
コストとリスクに基づき再ヘッジ閾値を決める。
時間、IV、配当、ロール後に再計算する。

リスクと限界

**局所近似：**現在入力付近の小幅変化だけを表す。
**Gammaのずれ：**ATM満期付近で Delta が急変する。
**ギャップ：**執行前に複数ヘッジ水準を飛び越える。
**IV・スキュー：**固定 IV 推定を上回る。
**Theta-Gamma交換：**Long曲率は通常時間価値を払う。
**Short Gamma：**トレンド・ギャップで不利な再ヘッジが累積する。
**単位・乗数：**株、点、契約、ポートフォリオ単位が異なる。
**ベーシス：**ETF、先物、株式ヘッジが参照対象とずれる。
**流動性：**理論調整を経済的に実行できない。
**モデル：**金利、配当、曲面、慣行がプラットフォームで異なる。

よくある誤解

「Delta は満期まで固定。」Gamma と入力が変え続けます。
「Delta は実際の株数。」株式換算の局所感応度です。
「0.50なら必ず$0.50動く。」局所推定で他変数も変わります。
「Delta は常に ITM 確率。」主に価格感応度です。
「Gamma はドル損益。」Delta変化率で、値動き・乗数・数量が必要です。
「正 Gamma は Callだけ。」Long Call と Long Put の双方です。
「正 Gammaなら利益。」プレミアム、Theta、IV、執行次第です。
「Delta中立は無リスク。」Gamma、Vega、Theta、ギャップ、ベーシスが残ります。
「Deltaが小さいShort Gammaは安全。」動きで急拡大します。
「異なるシステムのGreekを足せる。」単位とモデルを合わせます。